[가우스] 가우스 기호의 정의와 성질

오늘은 난이도가 높은 문항에서 주로 출제되는 가우스에 대해 알아보겠습니다.

 

중, 고등 수학을 함에 있어서 난이도가 높은 문제를 접하다보면 빠짐없이 나오는 것이 가우스와 절댓값이 들어간 문제 유형입니다.

 

개념 자체는 정말 어렵지 않지만, 이 가우스와 다른 개념이 합쳐지는 순간,

 

문제의 난이도는 상으로 올라가게 되고, 그냥 어렵다와 내가 풀 수 없는 문제가 되는 경향이 있다.

 

 

 

그럼 가우스 기호의 정의부터 공부해보자~!!

 

 

 

 

1. 가우스의 정의.

 

- 실수 에 대하여 를 넣지 않은 최대 정수.

 

- 로 나타내고, 이 때의 "[  ]" 이 기호를 가우스 기호라고 한다.

 

- 를 " 가우스 "라고 읽는다. 

 

 

 

1.1 설명.

 

(1) 양수의 경우.

 

① 이다. 을 넘지 않는 정수는 이고 

    

     이 중에서 최대 정수는 이기 때문이다. 

 

       즉, 에서 소수 부분을 버리고 정수 부분을 취한 것이 이다.

 

     모든 실수는 (정수)  + ( 0 또는 양의 소수)의 꼴로 나타낼 수 있는데 이때 정수 부분의 값이 그 실수의 가우스값인 것이다.

 

     수직선 위에서 살펴보면 가우스값은 그 실수의 바로 왼쪽에 있는 정수를 말한다.

 

 

② 같은 방법으로 생각하면 이다. 을 넘지 않는 (작거나 같은) 최대 정수는 이기 때문이다.

 

   위의 ①과 ②의 내용에서 알 수 있듯이 어떤 실수의 가우스값이 라면 그 실수는  또는 이다.

 

  

   ⇔   또는

   ⇔ 

   ⇔ 

   ⇔ 

 

 

(2) 음수의 경우.

 

음수의 경우는 양수와 다르게 단순히 생각하면 이라고 생각할 수 있다.

 

하지만, 잘 생각해보면 가 아니라 이다.

 

이는 수직선을 그려보면 큰 혼란없이 쉽게 구할 수 있지만, 수직선을 그리지 않고 구하려고 할 때는

 

틀리기 쉬운 문제이다.

 

그럼 인 이유를 생각해 보자.

 

이다. 이 부분에서 양수와는 다른 문제점이 나타난다.

 

양수의 경우, 정수부분과 소수부분이 모두 양수이다. 하지만, 음수의 경우, 정수부분과 소수부분이 모두 음수임을 알수 있다.

 

우리가 배운 초등과정부터 배운 소수는 항상 양수의 범위에서만 표현할 수 있는 수이다.

 

그 말은 음수인 소수 부분은 없다는 의미이다.!

 

그러므로 음수인 소수를 양수인 소수로 바꿔야 소수부분이라고 말할 수 있다.

 

그 작업을 해보자.

 

        ㈀    

        ㈁  

        ㈂  

㈀ 단계에서 을 양수로 만들기 위한 작업으로 을 더해준다.

 

    하지만, 등식이 아니기 때문에 원래의 식과 동일하게 만들어 주기 위해서 을 빼줌으로써 처음과 동일한 식을 만들어준다.

 

㈁ 단계에서 은 정수부분인 에 더해주고, 양수인 소수부분을 만들기 위해서 과 을 더해준다.

 

㈂ 단계가 을 정수부분과 소수부분으로 정확하게 나타낸 모습이다.

 

그렇기 때문에 정수부분은 이 되고, 소수부분은 이 된다.

 

 

 

★ 가우스 기호의 정의

 

 

 

 

 

 

2. 가우스 기호의 성질.

 

⑴ 가 정수이면 이다.  ( 역도 성립~!!! )

 

    (증명)

     가 정수이면  를 넘지 않는 정수는 이고

 

     이 중에서 최대 정수는 이다.

 

     따라서, 이다.

 

     역으로 라고 한다면 가우스 기호의 정의에 의해 는 정수이므로 도 정수이다.

 

 

⑵ 이 정수일 때, 이다.

 

    (증명)

 

    은 정수라 했을 때,

 

     의 범위는 가우스의 정의에 따라 으로 나타낼 수 있다.

 

     따라서, 으로 할 수 있다.

 

     그러므로 이라 말할 수 있고, 그렇기 때문에 라 할 수 있다.

 

 

⑶ 이다.

 

     (증명)

 

     ,  ( m과 n은 정수 )이면,

 

      가우스의 정의에 따라 와 의 범위는,  이다.

 

      따라서, 이다. 이 범위는 2개로 쪼개서 나타낼 수 있다.

 

       또는 이다.

 

      이것은

 

      따라서, 로 표현할 수 있다.

 

      은 소수부분의 합이 을 넘지 않을 때 사용하고,

 

      은 소수부분의 합이 을 넘을 때 사용한다.

 

 

 

⑷ 이다.

 

     (증명)

 

     ,  ( m과 n은 정수 )이면,

 

      가우스의 정의에 따라 와 의 범위는,  이다.

 

      따라서, 이다. 이 범위는 2개로 쪼개서 나타낼 수 있다.

 

       또는 이다.

 

이것은

 

      따라서, 로 표현할 수 있다.

 

      은 x의 소수부분이 y의 소수부분보다 작을 때 사용하고,

 

      은  x의 소수부분이 y의 소수부분보다 클 때 사용한다.

 

 

 

 ⑸ 이면 이다.

 

    (증명)

 

    이면 이므로 이다.

 

    따라서,

 

                        (위의 3번째 성질을 이용)

 

                       

 

 

 

 ⑹ 또는 이다.

 

     (증명)

 

앞에서 했던 3번째 성질을 이용해서

 

     또는 으로

 

표현할 수 있으며, 그 결과 또는 이다.

 

 

 

 ⑺ 자연수 1 부터 까지의 수 중 a의 배수의 개수는 모두 개 이다.

 

    (증명)

 

    을 a로 나눈 몫을 q, 나머지를 r이라 하면 단,

 

    따라서, 양변을 양수인 a로 나누면

 

    을 a로 나누면 이므로 라고 할 수 있다.

 

즉, 자연수 1부터 까지의 수 중 a의 배수의 개수는 개 이다.

 

(증명2)

 

a의 배수가 k개 있다고 하면, 는 모두 보다 크지 않다.

 

그러나 이 보다 크므로 의 관계를 부등식으로 나타낼 수 있다.

 

즉, 로 나타낼 수 있고, 여기서 양수인 a로 모두를 나눠주면,

 

로 나타낼 수 있고, 가우스의 정의와 같은 모습으로 나타났기 때문에

 

가우스 정의에 따라 a의 배수의 개수인  로 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

   ㈀ 자연수 1부터 n까지 수 중에서 a와 (and) b의 공배수의 개수는 이다. 

    

      - 증명과정은 위의 과정과 같은 과정으로 증명할 수 있으니, 한 번 해 보기를 권한다.^^

 

   ㈁ 자연수 1부터 n까지 수 중에서 a 또는 (or) b의 배수의 개수는 이다.

 

 

 

가우스는 위의 성질로 나타내어 질 수 있고, 이 성질들을 이용한 다양한 문제가 생성될 수 있다.

 

다양하게 변형되면 학생들로 하여금 반드시 당황할 수 있으니, 개념과 성질은 반드시 암기가 되어 있는 상태에서

 

여러가지 유형 문제들을 연습하는 것이 좋다.

 

다음은 가우스 함수에 대해서 알아보겠습니다. ^^

 

 

 

꾸준함은 언제나 강하다~!!!